Question

已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A（

2

，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A′与A点关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l过点A，斜率为k，当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为

2

，试求k的值及此时B点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设双曲线的渐近线为y=kx，由d=

| 2 k|

k2+1

=1，解得k=±1，再由点A关于y=x对称点的坐标为（0，

2

），能求出双曲线C的方程．
（2）设直线ly=k（x-

2

）（0＜k＜1），依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为

2

，设直线l′y=kx+m，应有

| 2 k+m|

k2+1

=

2

，由此能求出k的值及此时B点的坐标．

解答：解：（1）设双曲线的渐近线为y=kx，由d=

| 2 k|

k2+1

=1，解得k=±1
即渐近线为y=±x，又点A关于y=x对称点的坐标为（0，

2

）
∴a=

2

=b，所求双曲线C的方程为y²-x²=2．
（2）设直线ly=k（x-

2

）（0＜k＜1），
依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为

2

设直线l′y=kx+m，应有

| 2 k+m|

k2+1

=

2

，
化简得m₂+2

2

km=2②
把l′代入双曲线方程得（k₂-1）x₂+2mkx+m₂-2=0，
由△=4m₂k₂-4（k₂-1）（m₂-2）=0
可得m₂+2k₂=2③
②、③两式相减得k=

2

m，代入③得m₂=

2

5

，解得m=

10

5

，k=

2 5

5

，
此时x=

-mk

k2-1

-2

2

，y=

10

，故B（2

2

，

10

）．

点评：本题考查轨迹方程的求法和求k的值及此时B点的坐标．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．