Question

定义域为R的函数y=f（x）对于任意x都有f(x+2)=

2

f(x)，当x∈[0，2]时f(x)=sin(

π

2

x)，则方程f(x)-

x

=0，x∈[0，8]的根的个数为（　　）

A．7

B．6

C．5

D．4

Answer 1

分析：根据已知条件先求出函数y=f（x）在区间[0，8]上的解析式，然后再同一坐标系中画出函数y=f（x）、y=

x

的图象，根据函数的单调性并结合函数的图象即可得出二图象的交点个数．
即方程f（x）-

x

=0的根的个数．

解答：解：设x∈（2，4]时，（x-2）∈（0，2]，∴f（x）=

2

sin[

π

2

(x-2)]=-

2

sin(

π

2

x)；
同理x∈（4，6]，f（x）=2sin(

π

2

x)；x∈（6，8]，f（x）=-2

2

sin(

π

2

x)．
即f（x）=

sin( π 2 x)，当x∈[0，2]时 - 2 sin( π 2 x)，当x∈(2，4]时 2sin( π 2 x)，当x∈(4，6]时 -2 2 sin( π 2 x)，当x∈(6，8]时

在同一坐标系中分别画出函数y=f（x）、y=

x

的图象，如图所示．
①当x≤x≤1时，∵f（0）=0=

0

，f(

1

2

)=

2

2

=

1 2

，f（1）=1=

1

，∴在区间[0，1]上有三个交点；
②当1＜x≤6时，由图象可以看出函数y=f（x）与y=

x

的图象无交点；
③当6＜x＜8时，∵

7

＜f(7)=2

2

，由图象和函数的单调性可得：在此区间内有两个交点．
④当x=8时，f（8）=0＜

8

，无交点．
综上可知：在区间[0，8]内，函数y=f（x）与y=

x

的交点共有5个，即方程f（x）-

x

=0在区间x∈[0，8]的根的个数为5．
故选C．

点评：由已知条件正确求出函数y=f（x）的解析式并画出函数y=f（x）、y=

x

的图象是解题的关键．数形结合思想方法是解此类题目常用的方法之一．