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设函数f(x)=lg(a+1-x).
(1)若函数f(-x2)的值域为R,求实数a的取值范围;
(2)若关于x的方程(x+1)10f(x)=4在(0,2)有且仅有一个根,求实数a的取值范围.
考点:对数函数的图像与性质
专题:函数的性质及应用
分析:(1)由f(x)的值域为R可得x2+a+1能取到一切正实数,从而可知△=-4(a+1)≥0,解出即得答案.
(2)将方程在(0,1)内仅有一个实数根化为函数在(0,1)内仅有一个零点,从而解得.
解答: 解:(1)∵f(x)=lg(a+1-x).
∴f(-x2)=lg(a+1+x2).
因为f(x)的值域为R,所以x2+a+1能取到一切正实数,
则△=-4(a+1)≥0,
解得a≤-1,
(2)∵f(x)=lg(a+1-x).
∴a+1-x>0,x∈(0,2)
∴a≥1
∴10f(x)=a+1-x,
∴方程(x+1)(a+1-x)=4
即方程为x2+ax+(3-a)在(0,2)有且仅有一个根,
则f(0)•f(2)<0
即:(3-a )•(a+7)<0
即:(a-3)•(a+7)<0,
解得 a>3,或a<-7,
综上所述a>3
实数a的取值范围为(3,+∞)
点评:本题考查对数函数的值域,函数的零点存在定理,属于基础题.
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