Question

已知三棱柱ABC-A1B1

C

1

，底面是正三角形，侧棱和底面垂直，直线B₁C和平面ACC₁A₁成角为30°，则异面直线BC₁和AB₁所成的角为

π

3

．

Answer 1

分析：先将正三棱柱补成一个四棱柱，再通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中利用解三角形知识求出此角即可．

解答：解：如图先将三棱柱ABC-A1B1

C

1

补成一个四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁
则其为底面ABCD为菱形的直四棱柱，B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，
∴∠B₁CO就是直线B₁C和平面ACC₁A₁成角
∴∠B₁CO=30°
设底边长为a，则在直角三角形B₁OC中，B₁O=

3

2

a，
∴B₁C=

3

a，∴BB₁=

3a2-a2

=

2

a
即侧棱长为

2

a，
∵BC₁∥AD₁
∴∠D₁AB₁为异面直线BC₁和AB₁所成的角
在三角形D₁AB₁中，三边长均为

3

a，∴三角形D₁AB₁为等边三角形，
∴∠D₁AB₁=

π

3

，
故异面直线BC₁和AB₁所成的角为

π

3

故答案为

π

3

点评：本小题主要考查异面直线所成的角和直线与平面所成的角的作法、证法、求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．