Question

20．若复数z满足|z+1|-|z-i|=0，求|z+i|的最小值．

Answer 1

分析 由题意知复数z对应的点 到（-1，0）点的距离与到（0，1）的距离相等，即复数z对应的点在（-1，0）与（0，-1）两点的连线的中垂线上，写出直线的方程，根据点到直线的距离最小得到所求．

解答 解：∵复数z满足|z+1|-|z-i|=0，
∴复数z到（-1，0）点的距离与到（0，1）的距离相等，
∴复数z在（-1，0）与（0，1）两点的连线的中垂线上，
∴复数z在过这两点的直线上，直线的斜率是-1，过点（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
∴直线的方程是x+y=0
∵|z+i|表示z到（0，-1）的距离，最小值为这个点到直线x+y=0的距离$\frac{|-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查复数的代数形式及其几何意义，考查转化计算能．