Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足：t（S_n+1+1）=（2t+1）S _n  n∈N*．
（1）求证{a_n}是等比数列；
（2）若{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1=f（

1

bn

），求{b_n}的通项公式；
（3）定义数列{c_n}为：c_n=

1

bn+1bn

，求{c_n}的前n项和T_n，并求

lim

n→∞

Tn．

Answer 1

分析：（1）将S_n与a_n的递推关系仿写一个新的等式，两个式子相减；利用等比数列的定义证得{a_n}是等比数列．
（2）利用等差数列的定义及等差数列的通项公式求出b_n．
（3）据数列的通项公式的特点：是分式形式，且分子是常数，分母是等差数列两项的乘积，所以利用裂项法求出数列的前n项和，求出和的极限值．

解答：解：（1）n≥2时，t（S_n+1+1）=（2t+1）S_n，
得t（S_n+1）=（2t+1）S_n-1，
相减得：

an+1

an

=2+

1

t

，
n=1时，有t（S₂+1）=（2t+1）S₁，
又由S₂=a₁+a₂，
故有

a2

a1

=2+

1

t

，
∴{a_n}是等比数列．
（2）b_n+1=f（

1

bn

）=2+b_n，
∴b_n+1-b_n=2，b₁=1，
得b_n=2n-1．
（3）c_n=

1

bn+1bn

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)．
∴

lim

n→∞

Tn=

1

2

．（5分）

点评：本题考查已知和与项的递推关系求通项常采用的方法是仿写作差；考查求数列的前n项和的方法：关键是看通项的特点：当通项为分式形式，且分子是常数，分母是等差数列两项的乘积是采用的方法是裂项求和．