Question

18．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P_k（x_k，y_k）处，其中x₁=1，y₁=1，当k≥2时，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{k}={x}_{k-1}+1-5[T（\frac{k-1}{5}）-T（\frac{k-2}{5}）]}\\{{y}_{k}={y}_{k-1}+T（\frac{k-1}{5}）-T（\frac{k-2}{5}）}\end{array}\right.$．其中T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2015棵树种植点的坐标应为（5，403）．

Answer 1

分析 根据规律找出种植点横坐标及纵坐标的通式，分别代入6和2015即可求得种植点的坐标．

解答 解：∵T[$\frac{k-1}{5}$]-T[$\frac{k-2}{5}$]组成的数列为
1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，
将k=1，2，3，4，5，…，
一一代入计算得数列x_n为
1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即x_n的重复规律是x_5n+1=1，x_5n+2=2，x_5n+3=3，x_5n+4=4，x_5n=5．n∈N^*．
数列{y_n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即y_n的重复规律是y_5n+k=n，0≤k＜5．
∴由题意可知第6棵树种植点的坐标应为（1，2），
第2015棵树种植点的坐标应（5，403）．

点评 本题给出递推式，着重考查了数列的性质和应用，解题时要注意创新题的灵活运用，属于中档题．