Question

某学校校办工厂有毁坏的房屋一座，留有一面14m的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m²的厂房（不管墙高），工程的造价是：
（1）修1m旧墙的费用是造1m新墙费用的25%；
（2）拆去1m旧墙用所得的材料来建1m新墙的费用是建1m新墙费用的50%．
问如何利用旧墙才能使建墙的费用最低？

Answer 1

分析：设保留旧墙x m，即拆去旧墙（14-x）m修新墙，分别计算修旧墙的费用、拆旧墙建新墙的费用、新墙的费用，再利用基本不等式可求最低费用．

解答：解：设保留旧墙x m，即拆去旧墙（14-x）m修新墙，设建1m新墙费用为a元，则
修旧墙的费用为y₁=25%×ax=

1

4

ax；
拆旧墙建新墙的费用为y₂=（14-x）×50%a=

1

2

a（14-x）；
矩形边长为x，所以另一边长为

126

x

，矩形总周长即为

2×126

x

+2x，因为有14m旧墙拆掉或拆旧建新，所以新墙就是

2×126

x

+2x-14，新墙的费用为：y₃=（

252

x

+2x-14）a．
于是，所需的总费用为：
y=y₁+y₂+y₃=[(

7

4

x+

252

x

)-7]a≥(2

7 4 x• 252 x

-7)a=35a，
当且仅当

7

4

x=

252

x

，即x=12时上式的“=”成立；
故保留12 m的旧墙时总费用为最低．

点评：本题考查函数模型的应用问题，考查建立函数模型解决实际问题的意识，通过建立的模型选择合适的方法求解相应的最值．根据题意将实际问题的数学模型建立起来是解决本题的关键．