Question

【题目】已知抛物线y2=4 x的交点为椭圆 （a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C，D（异于A，B）两点．

（1）求椭圆标准方程；
（2）求四边形ADBC的面积的最大值；
（3）若M（x1 ， y1）N（x2 ， y2）是椭圆上的两动点，且满x1x2+2y1y2=0，动点P满足 （其中O为坐标原点），是否存在两定点F1 ， F2使得|PF1|+|PF2|为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设知：抛物线y2=4 x的焦点为（ ，0），

∴椭圆中的c= ，又由椭圆的长轴为4，得a=2，

∴b2=a2﹣c2=2，

∴椭圆方程为

（2）解：设直线l：x=my﹣ ，代入椭圆方程，得：（m2+2）y2﹣2 my﹣2=0，

设C（x1，y1），D（x2，y2），A（﹣2，0），B（2，0），

y1+y2= ，y1y2= ，判别式为（2 m）2+8（m2+2）＞0，

则四边形ADBC的面积S=S△ABC+S△ABD= |AB||y1﹣y2|=2

=2 = = ≤ =4，

当且仅当 = 即m=0时，等号成立．

则四边形ADBC的面积的最大值为4

（3）解：存在两定点F1，F2使得|PF1|+|PF2|为定值．

设P（xP，yP），M（x1，y1），N（x2，y2）．

由 ，得： ，①

x1x2+2y1y2=0，②

M，N是椭圆上的点，

∴x12+2y12=4，x22+2y22=4，

由①②，得xp2+2yP2=（x1+2x1）2+2（y1+2y2）2

=（x12+2y12）+4（x22+2y22），

∴xP2+2yP2=20，即 ，

由椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值4

【解析】（1）由已知条件得椭圆中的c= ，又由椭圆的长轴为4，由此能求出椭圆方程；（2）设直线l：x=my﹣ ，代入椭圆方程，得（m2+2）y2﹣2 my﹣2=0，运用韦达定理和四边形ADBC的面积S=S△ABC+S△ABD= |AB||y1﹣y2|，化简整理，运用基本不等式即可求得m=0时，取得最大值4；（3）设P（xP ， yP），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．由 ，运用向量的坐标运算，得 ，由椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值4 ．