【题目】如图所示,三棱柱中,已知
侧面
.
(1)求证: 平面
;
(2)是棱长
上的一点,若二面角
的正弦值为
,求
的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(Ⅰ)证明AB⊥BC1,在△CBC1中,由余弦定理求解B1C,然后证明BC⊥BC1,利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC.
(Ⅱ)通过AB,BC,BC1两两垂直.以B为原点,BC,BA,BC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标,求出平面AB1E的一个法向量,平面的一个法向量通过向量的数量积,推出λ的方程,求解即可.
试题解析: 证明:因为
平面
,
平面
,所以
,
在中,
,
,
,
由余弦定理得: ,
故,所以
,
又,∴
平面
.
由
可以知道
,
,
,两两垂直,以
为原点
,
,
,所在直线为
,
,
轴建立空间直角坐标系.
则,
,
,
,
,
,
.
令,∴
,
.
设平面的一个法向量为
,
,
令,则
,
,
∴,
平面
,∴
是平面
的一个法向量,
,两边平方并化简得
,所以
或
.
∴或
.
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【题目】写出下面两个的相关命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假:
(1)命题:若,则
.
逆命题:_______________________________________________________(________)
逆否命题:_____________________________________________________(________)
(2)命题:设是实数,如果
,那么
有实数根。
否命题:_______________________________________________________(________)
逆否命题:_____________________________________________________(________)
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【题目】如图,某学校拟建一块五边形区域的“读书角”,三角形区域ABE为书籍摆放区,沿着AB、AE处摆放折线形书架(书架宽度不计),四边形区域为BCDE为阅读区,若∠BAE=60°,∠BCD=∠CDE=120°,DE=3BC=3CD=m.
(1)求两区域边界BE的长度;
(2)若区域ABE为锐角三角形,求书架总长度AB+AE的取值范围.
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【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
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【题目】如图是2017年第一季度中国某五省情况图,则下列陈述正确的是( )
①2017年第一季度 总量高于4000亿元的省份共有3个;
②与去年同期相比,2017年第一季度五个省的总量均实现了增长;
③去年同期的总量前三位依次是
省、
省、
省;
④2016年同期省的
总量居于第四位.
A. ①② B. ②③④ C. ②④ D. ①③④
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【题目】已知抛物线:
,焦点为
,其准线与
轴交于点
.椭圆
:分别以
、
为左、右焦点,其离心率
,且抛物线
和椭圆
的一个交点记为
.
(1)当时,求椭圆
的标准方程;
(2)在(1)的条件下,若直线经过椭圆
的右焦点
,且与抛物线
相交于
,
两点,若弦长
等于
的周长,求直线
的方程.
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【题目】已知是满足下述条件的所有函数
组成的集合:对于函数
定义域内的任意两个自变量
、
,均有
成立.
(1)已知定义域为的函数
,求实数
、
的取值范围;
(2)设定义域为的函数
,且
,求正实数
的取值范围;
(3)已知函数的定义域为
,求证:
.
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