Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅲ）若f（2）=1，求不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x₁=x₂=1代入f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），得f（1）；
（2）逆用条件f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），利用函数单调性的定义；
（3）先推导f（4）=2，不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2可化为f[x（x-3）]≤f（4），再利用单调性得出x（x-3）≤4．

解答： 解：（1）令x₁=x₂=1代入f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），得f（1）=f（1）-f（1），∴f（1）=0
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f(

x2

x1

)，
∵

x2

x1

＞1，∴f(

x2

x1

)＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）∵f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），∴f(

1

x

)=f(1)-f(x)=0-f(x)=-f(x)，
∴f(

1

2

)=-f(2)，∴f(4)=f(

2

1 2

)=f(2)-f(

1

2

)=f(2)-[-f(2)]=2f（2）=2，
∵f(x)-f(

1

x-3

)=f(

x

1 x-3

)=f[x(x-3)]
∴不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2可化为f[x（x-3）]≤f（4）
∴

x＞0 1 x-3 ＞0 x(x-3)≤4

，解得3＜x≤4，
∴不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2的解集为{x|3＜x≤4}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，属于高档题．