Question

1．已知等比数列{a_n}中，a₂=$\frac{1}{9}$，a₃+a₄=$\frac{4}{81}$，且a₁＞a₂．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）设b_n=log₃（a₁a₂）+log₃（a₂a₃）+…+log₃（a_na_n+1），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过a₂=$\frac{1}{9}$、a₃+a₄=$\frac{4}{81}$=a₂（q+q²），可得公比，进而可得结论；
（2）通过（1）可知a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$，进而a_na_n+1=$\frac{1}{{3}^{2n+1}}$，利用对数的性质计算即可．

解答 解：（1）∵a₂=$\frac{1}{9}$，
∴a₃+a₄=$\frac{4}{81}$=a₂（q+q²），
∴q=$\frac{1}{3}$或-$\frac{4}{3}$（舍），
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）可知a_n=$\frac{1}{3}•\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴a_na_n+1=$\frac{1}{{3}^{n}}$•$\frac{1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{{3}^{2n+1}}$，
∴b_n=log₃（a₁a₂）+log₃（a₂a₃）+…+log₃（a_na_n+1）
=log₃$\frac{1}{{3}^{3}}$+log₃$\frac{1}{{3}^{5}}$+…+log₃$\frac{1}{{3}^{2n+1}}$
=-3-5-…-（2n+1）
=-$\frac{n（3+2n+1）}{2}$
=-n（n+2）．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．