Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1 ， D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）直线A1F∥平面ADE．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴CC1⊥平面ABC，

∵AD平面ABC，

∴AD⊥CC1

又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线

∴AD⊥平面BCC1B1，

∵AD平面ADE

∴平面ADE⊥平面BCC1B1

（2）解：∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点

∴A1F⊥B1C1，

∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，

∴A1F⊥CC1

又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线

∴A1F⊥平面BCC1B1

又∵AD⊥平面BCC1B1，

∴A1F∥AD

∵A1F平面ADE，AD平面ADE，

∴直线A1F∥平面ADE

【解析】（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1 ， 结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1 ， 从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1 ， 再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1 ， 结合AD⊥平面BCC1B1 ， 得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．