Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)过点(

2

 ， 

3

3

)，且离心率为

6

3

，F₁，F₂为椭圆的左右焦点，直线l为椭圆的左准线，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点M在椭圆上，M到右焦点的距离为

3

-1，求点M到左准线l的距离．
（Ⅲ）若点P是椭圆C上的动点，PQ⊥l，垂足为Q，是否存在点P使得△F₁PQ为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)过点(

2

 ， 

3

3

)，且离心率为

6

3

，可得

2 a2 + 1 3b2 =1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）由（I）可得椭圆的左准线l为：x=-

3 2

2

．由点M在椭圆上，M到右焦点的距离为

3

-1，可得点M到左焦点的距离，再利用椭圆的第二定义即可得出．
（III）假设存在点P使得△F₁PQ为等腰三角形，可能|PQ|=|QF₁|或|QF₁|=|PF₁|．设P（x，y），可得

x2

3

+y2=1．
利用两点之间的距离的公式可得另一个关系式．联立解出即可．

解答： 解：（I）由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)过点(

2

 ， 

3

3

)，且离心率为

6

3

，
∴

2 a2 + 1 3b2 =1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，解得a²=3，b²=1，c²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（II）由（I）可得椭圆的左准线l为：x=-

3 2

2

．
∵点M在椭圆上，M到右焦点的距离为

3

-1，
∴点M到左焦点的距离=2a-（

3

-1）=

3

+1，
∴点M到左准线l的距离d满足

3 +1

d

=e=

6

3

，解得d=

3 2 + 6

2

．
（III）假设存在点P使得△F₁PQ为等腰三角形，则|PQ|=|QF₁|或|QF₁|=|PF₁|．
设P（x，y），则

x2

3

+y2=1．
F₁(-

2

，0)，Q(-

3 2

2

，y)．
①若|PQ|=|QF₁|，则|x+

3 2

2

|=

(- 2 + 3 2 2 )2+y2

，又

x2

3

+y2=1．化为4x2+9

2

x+9=0，
解得x=-

3 2

4

，y=±

10

4

．∴P(-

3 2

4

，±

10

4

)．
②若|QF₁|=|PF₁|．则

(- 2 + 3 2 2 )2+y2

=

(x+ 2 )2+y2

，又

x2

3

+y2=1．
解得x=-

2

2

，y=±

30

6

．∴P(-

2

2

，±

30

6

)．
综上可得：满足条件的点P有四个点：分别为.(-

3 2

4

，±

10

4

)，(-

2

2

，±

30

6

)．

点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、等腰三角形的性质、两点之间的距离公式，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．