Question

1．（重点中学做）已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，（x＜1）}\\{lnx，（x≥1）}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
若a≤0时，方程f（x）=ax不可能有三个不相等的实数根，
则必有a＞0，
当直线y=ax与y=lnx在x＞1时相切时，
设切点坐标为（x₀，y₀），
则f′（x）=$\frac{1}{x}$，即f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
则切线方程为y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+y₀-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+lnx₀-1，
∵切线方程为y=ax，
∴a=$\frac{1}{{x}_{0}}$且lnx₀-1=0，则x₀=e，
则a=$\frac{1}{e}$，
要使方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，
则0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，求 函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率，利用数形结合是解决本题的关键．