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一半径为2m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面1m;已知水轮按逆时针做匀速转动,每3s转一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)试建立适当的坐标系,将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数;
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间?
(3)记f(t)=h,求证:不论t为何值,f (t)+f (t+1)+f (t+2)是定值.
分析:(1)先根据h的最大和最小值求得A和k,利用周期求得ω,当t=0时,h=0,进而求得φ的值,则函数的表达式可得;
(2)令最大值为3,可得三角函数方程,进而可求点P第一次到达最高点的时间;
(3)由(1)可求:f (t),f (t+1),f (t+2),进而可求f (t)+f (t+1)+f (t+2)是定值.
解答:解:(1)以水轮所在平面与水面的交线为x轴,以过点O且与水面垂直的直线为y轴,
建立如图所示的直角坐标系,设h=Asin(ωt+?)+k,(-
π
2
<?<0),
则A=2,k=1,
∵T=3=
ω

∴ω=
3

∴h=2sin(
3
t+?)+1,
∵t=0,h=0,
∴0=2sin?+1,
∴sin?=-
1
2

∵-
π
2
<?<0,
∴?=-
π
6

∴h=2sin(
3
t-
π
6
)+1
(2)令2sin(
3
t-
π
6
)+1=3,得sin(
3
t-
π
6
)=1,
3
t-
π
6
=
π
2

∴t=1,
∴点P第一次到达最高点大约要1s的时间;
(3)由(1)知:f (t)=2sin(
3
t-
π
6
)+1=
3
sin
3
t-cos
3
t+1,
f (t+1)=2sin(
3
t+
π
2
)+1=2cos
3
t+1,
f (t+2)=2sin(
3
t+
6
)+1=-
3
sin
3
t-cos
3
t+1,
∴f (t)+f (t+1)+f (t+2)=3(为定值).
点评:本题以实际问题为载体,考查三角函数模型的构建,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是构建三角函数式,利用待定系数法求得.
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精英家教网如图为一半径为3m的水轮,水轮中心O距水面2m,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(t)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2则(  )
A、ω=
15
,A=5
B、ω=
15
,A=5
C、ω=
15
,A=3
D、ω=
15
,A=3

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间?
(3)记f(t)=h,求证:不论t为何值,f (t)+f (t+1)+f (t+2)是定值.

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一半径为4m的水轮如图,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时.

⑴将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.

⑵点P第一次到达最高点要多长时间?

  ⑶在水轮转动的一圈内,有多长时间点P距水面的高度不超过.

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