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【题目】已知函数有两个极值点(为自然对数的底数).

(Ⅰ)求实数的取值范围;

(Ⅱ)求证.

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】分析:() 函数有两个极值点,只需有两个根利用导数研究函数的单调性结合零点存在定理与函数图象可得当时,没有极值点;当时,当有两个极值点;()()知,的两个实数根,上单调递减问题转化为要证只需证,即证利用导数可得从而可得结论.

详解 (Ⅰ)∵,∴.

,则.

,解得.

∴当时,;当时,.

.

时,,∴函数单调递增,没有极值点;

时,,且当时,;当时,.

∴当时,有两个零点.

不妨设,则.

∴当函数有两个极值点时,的取值范围为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,的两个实数根,上单调递减.

下面先证,只需证.

,得,∴.

,∴上单调递减,

,∴,∴.

∵函数上也单调递减,∴.

∴要证,只需证,即证.

设函数,则.

,则

上单调递增,∴,即.

上单调递增,∴.

∴当时,,则

,∴.

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