Question

已知数列各项均为正数，其前项和满足
（1）证明：为等差数列
（2）令，记的前项和为，求证：

Answer 1

解：（1）

两式相减得
整理得
（常数）
又
即，解得
是以1为首项1为公差的等差数列   6分
（2）方法一、由（1）知

即证：
设，
则
当为单调递增函数，
当单调递减函数；
处取得极大值，也取得最大值。
即

时，令，得





当，有
故结论成立。   13分
方法二：由（1）知
当时，成立，
当时，即证：
令
即证：


当时，容易证明单减，

单减，
结论成立    13分