Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为8的菱形，∠BAD=

π

3

，若PA=PD=5，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若点E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面 DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论？

Answer 1

分析：（1）四棱锥P-ABCD的体积=

1

3

×菱形ABCD的面积×棱锥的高，由平面PAD⊥平面ABCD，过P作PM⊥AD于M可得高PM，菱形ABCD的面积也可求；
（2）要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PMB，由AD⊥PM，AD⊥BM可证得；
（3）当点F为棱PC的中点时，面DEF⊥面ABCD；因为
【法一】，由AD⊥EF，AD⊥DE证得AD⊥面DEF，从而得面DEF⊥面ABCD；
【法二】，由FO∥PM，PM⊥面ABCD，证得FO⊥面ABCD，从而得面DEF⊥面ABCD．

解答：解：（1）如图
过P作PM⊥AD于M，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PM?平面PAD，
∴PM⊥面ABCD； 
又PA=PD=5，AD=8
∴M为AD的中点，且PM=

52-42

=3，
∵菱形ABCD中，∠BAD=

π

3

，AD=8，
∴V_P-ABCD=

1

3

×8×8×sin

π

3

×3=

1

3

×64×

3

2

×3=32

3

，
∴四棱锥P-ABCD的体积为32

3

；
（2）证明：连接BM，BD；
∵BD=BA=8，AM=DM，∠BAD=

π

3

，∴AD⊥BM，
又AD⊥PM，且BM∩PM=M，
∴AD⊥平面PMB，
∵PB?平面PMB，
∴AD⊥PB；
（3）能找到，并且点F为棱PC的中点，
证法一：∵F为PC的中点，点E为BC的中点，∴EF∥PB；
又由（2）可知AD⊥PB，∴AD⊥EF，
由AD⊥BM，BM∥DE，∴AD⊥DE；
又AD⊥EF，且DE∩EF=E，∴AD⊥面DEF；
又AD?面ABCD，∴面DEF⊥面ABCD；
证法二：设CM∩DE=O，连FO，∴O为MC的中点；
在△PMC中，FO∥PM，
∵PM⊥面ABCD，∴FO⊥面ABCD，
又FO?面DEF，∴面DEF⊥面ABCD．

点评：本题考查了求棱锥的体积与空间中的线线垂直，线面垂直，面面垂直的性质与判定，是易错题．