Question

13、设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1-1=ca_n-c，n∈N^*，其中a、c为实数，且c≠0则a_n=

a_n=（ a-1）c^n-1+1 （n∈N^*）

．

Answer 1

分析：先把数列的递推式整理成$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}+1}$的形式，利用等比数列的定义判断出{a_n-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列，进而根据等比数列的性质求得通项公式，进而求得a_n．

解答：解：因为a_n+1-1=c（a_n-1）
所以当a≠1时，{a_n-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列
所以a_n-1=（ a_n-1）c^n-1
即a_n=（ a_n-1）c^n-1+1
当n=1时，a_n=1仍满足上式
数列{a_n}的通项公式为a_n=（ a-1）c^n-1+1 （n∈N^*）
故答案为：a_n=（ a-1）c^n-1+1 （n∈N^*）

点评：本题主要考查了数列的递推式．对于a_n+1=pa_n+q的递推式求通项公式一般是待定系数法，把原递推公式转化为a_n+1-t=p（a_n-t），其中，再利用换元法转化为等比数列求解，或转化为二队循环数列来解或直接用逐项迭代法求解．