Question

设F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，过F且与抛物线C对称轴垂直的直线被抛物线C截得线段长为4．
（1）求抛物线C方程．
（2）设A、B为抛物线C上异于原点的两点且满足FA⊥FB，延长AF、BF分别抛物线C于点C、D．求：四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据过F且与抛物线C对称轴垂直的直线被抛物线C截得线段长为4，可得2p=8，从而可得抛物线C的方程；
（2）设出直线方程与抛物线方程联立，计算出|AC|、|BD|，可得S=|AC||BD|=8（+2），利用基本不等式，即可求四边形ABCD面积的最小值．
解答：解：（1）由条件得2p=4，∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）两直线垂直，焦点为（1，0），不妨设两直线为：y=k（x-1）（k≠0）与ky=1-x
y=k（x-1）与抛物线方程联立，可得k² x²-2（k²+2）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则|x₁-x₂|==
∴弦长|AC|=|x₁-x₂|=
同理可得，弦长|BD|=4（k²+1）
∵两条直线相互垂直，∴这个四边形的面积S=|AC||BD|=8（+2）≥8（2+2）=32
当且仅当k=±1时等号成立，此时取到面积最小值为32．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．