考点:数列与不等式的综合,数列的求和
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)由已知条件推导出a
1=4,a
n=S
n-S
n-1=
a
n-
an-1+1,由此能证明数列{a
n-1}是以a
1-1=3为首项,公比为3的等比数列,从而能求出
an=3n+1.
(2)由c
n=n+
log(a1-1)+
log(a
2-1)+…+
log(a
n-1)=n(n+2),从而
=
=
(
-
),由此利用裂项求和法结合已知条件能求出m的最大值.
解答:
(1)证明:当n=1时,S
1=a
1=
a
1+1-3,解得a
1=4,
当n≥2时,由S
n=
a
n+n-3,得S
n-1=
a
n-1+n-4.
两式相减,得a
n=S
n-S
n-1=
a
n-
an-1+1,
即a
n=3a
n-1-2,则a
n-1=3(a
n-1-1),
故数列{a
n-1}是以a
1-1=3为首项,公比为3的等比数列.
∴a
n-1=3
n,
∴
an=3n+1.
(2)解:c
n=n+
log(a1-1)+
log(a
2-1)+…+
log(a
n-1)
=n+2+4+…+2n
=n+n(n+1)
=n(n+2),
∴
=
=
(
-
),
∴不等式
+
+…+
=
(1-+-+-+…+-)=
(1+
-
-)
=
-
,
∵不等式
+
+…+
≥
对任意n∈N
*都成立,
∴
-
≥
,
∴log
2m≤9-
<9,
∴m<2
9=512,
∵m∈N
*,∴m的最大值为511.
点评:本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法,考查实数的最大值的求法,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.