Question

已知△ABC和△DBC是两个有公共斜边的直角三角形，并且AB=AD=AC=2a，CD=

6

a．
（1）若P是AC边上的一点，当△PDB的面积最小时，求二面角B-PD-C的正切值；
（2）在（1）的条件下，求点C到平面PBD的距离；
（3）能否找到一个球，使A，B，C，D都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该球的内接正三棱柱的侧面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）作PH⊥BC，HE⊥BD于E，连接PE，设PH=CH=x，由题设条件解得x=

6 2

7

a时，S_△PBD最小．以过H点垂直于BC的直线为x轴，以HC为y轴，以HP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的正切值．
（2）由

BC

=(0，2

2

a，0)，平面PBD的一个法向量

n

=（

3

，-3，4），利用向量法能求出点C到平面PBD的距离．
（3）R=

2

a，设正三棱柱的底面边长为x，高为y，则

1

3

x2+

1

4

y2=2a2，所以xy≤2

3

a2，由此能求出该球的内接正三棱柱的侧面积的最大值．

解答：解：（1）作PH⊥BC，HE⊥BD于E，连接PE，
设PH=CH=x，∵△ABC和△DBC是两个有公共斜边的直角三角形，AB=AD=AC=2a，CD=

6

a，
∴BH=2

2

a-x，
∴EH=

3

2

(2

2

a-x)=

6

a-

3

2

x，
∴PE=

x2+( 6 a- 3 2 x)2

=

7 4 x2-3 2 ax+6a2

=

2 a

2

•

7 4 (x- 6 2 7 a)2+ 24 7 a2

，
∵0＜x≤

2

a，∴x=

6 2

7

a时，S_△PBD最小．
以过H点垂直于BC的直线为x轴，以HC为y轴，以HP为z轴，建立空间直角坐标系，

则P（0，0，

6 2

7

a），B（0，-

8 2

7

a，0），C（0，

6 2

7

a，0），D（-

6

2

a，-

9

14

2

a，0），
∴

PB

=（0，-

8

7

2

a，-

6

7

2

a），

PC

=(0，

6 2

7

a，-

6 2

7

a)，

PD

=(

6

2

a，-

9

14

2

a，-

6

7

2

a)，
设面PCD的一个法向量为

m

=(x1，y1，z1)，则有

m

•

PC

=0，

m

•

PD

=0，
∴

6 2 7 ay1- 6 2 7 az1=0 6 2 ax1- 9 14 2 ay1- 6 7 2 az1=0

，解得

m

=（

3

，1，1），
设平面PBD的一个法向量为

n

=(x2，y2，z2)，
则有

n

•

PB

=0，

n

•

PD

=0，
∴

- 8 7 2 ax2- 6 7 2 az2=0 6 2 ax2- 9 14 2 ay2- 6 7 2 az2=0

，解得

n

=（

3

，-3，4），
设二面角B-PD-C的平面角为θ，
cosθ=-|cos＜

n

，

m

＞|=-|

3-3+4

5 • 28

|=-

2 35

35

，
∴tanθ=-

31

2

．
故二面角B-PD-C的正切值为-

31

2

．
（2）∵

BC

=(0，2

2

a，0)，

n

=（

3

，-3，4），
∴点C到平面PBD的距离d=

| BC • n |

| n |

=

|0-6 2 a+0|

28

=

3 14

7

a．
（3）由题意，R=

2

a
设正三棱柱的底面边长为x，高为y，则

1

3

x2+

1

4

y2=2a2，∴xy≤2

3

a2，
∴S_侧=3xy≤6

3

a²，当且仅当x=

3

a，y=2a时取等号．

点评：本题考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离，考查该球的内接正三棱柱的侧面积的最大值．解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．