Question

【题目】如图，AB是圆柱的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D是圆O上不与点B、C重合的任意一点，：

（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；

（2）求点B到平面ACD的距离；

（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由旋转而成的封闭几何体的体积；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；

【解析】

（1）由AB⊥CD，BD⊥CD得出CD⊥平面ABD，故而∠CAD即为所求角，利用勾股定理得出AC，即可得出sin∠CAD；

（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，通过证明平面ABD⊥平面ACD得出BM⊥平面ACD，利用等面积法求出BM；

（3）△ACD绕AB旋转而成的封闭几何体为大圆锥中挖去一个小圆锥，使用作差法求出体积．

（1）∵AB⊥平面BCD，CD平面BCD，

∴AB⊥CD，

∵BC是圆O的直径，

∴BD⊥CD，

又BD平面ABD，AB平面ABD，AB∩BDE＝B，

∴CD⊥平面ABD．

∴∠CAD是AC与平面ABD所成的角．

∵AB＝BC＝5，∴AC＝5，

∴sin∠CAD．

∴直线AC与平面ABD所成角的大小为．

（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，

由（1）得CD⊥平面ABD，CD平面ACD，

∴平面ABD⊥平面ACD，

又平面ABD∩平面ACD＝AD，BM平面ABD，BM⊥AD，

∴BM⊥平面ACD．

∵BD4，∴AD．

∴BM．即B到平面ACD的距离为．

（3）线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，

线段AD绕AB旋转一周所得几何体为以BD为底面半径，以AB为高的圆锥，

∴△ACD绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积V15π．