【题目】如图,在四棱锥中,平面,且,,,点G,H分别为边,的中点,点M是线段上的动点.
(1)求证:;
(2)若,当三棱锥的体积最大时,求点C到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)连接,相交于点O.由垂直平分线性质可得,由中位线定理可得,从而.再由平面,可得,所以平面,即可得.
(2)根据,,,可求得和,进而求得,由相似比与面积比关系求得,即可由等体积法求得.因而当点M与点E重合时取得最大值.由线段关系求得,再根据等体积,即可求得点D到平面的距离.
(1)证明:连接,相交于点O.如下图所示:
平面.平面,
.
又,,
为线段的垂直平分线.
.
∵G,H分别为,的中点,
,
,
又,,平面,
平面.
又平面,
.
(2)由(1)得,,.
,在中,,,
.
在中,.
的面积
,
∵G,H分别为,中点,
.
平面.即平面.
.
显然,当点M与点E重合时,取得最大值,此时.
连接,不难得出.
,.
又易知,
.
∵G是中点,
∴C到平面的距离等于D到平面的距离.
又,
,得.
∴点D到平面的距离为.
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【题目】已知圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.
(1)若直线l:x+y=0与圆C交于A,B两点,求弦AB的长;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
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【题目】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时,可以一次性额外购买几次维修服务,每次维修服务费用200元,另外实际维修一次还需向维修人员支付小费,小费每次50元.在机器使用期间,如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,则每维修一次需支付维修服务费用500元,无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数,得下面统计表:
维修次数 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数,y表示1台机器在维修上所需的费用(单位:元),表示购机的同时购买的维修服务次数.
(1)若=10,求y与x的函数解析式;
(2)若要求“维修次数不大于”的频率不小于0.8,求n的最小值;
(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务,或每台都购买11次维修服务,分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务?
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【题目】地球海洋面积远远大于陆地面积,随着社会的发展,科技的进步,人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益,还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日,某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试,并按测试成绩(单位:分)分组如下:第一组[65,70),第二组[70,75),第二组[75,80),第四组[80,85),第五组[85,90],得到频率分布直方图如下图:
(1)求实数的值;
(2)若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队,出发前,用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长,列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.
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【题目】已知椭圆的焦点与双曲线的焦点重合,并且经过点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(II) 设椭圆C短轴的上顶点为P,直线不经过P点且与相交于、两点,若直线PA与直线PB的斜率的和为,判断直线是否过定点,若是,求出这个定点,否则说明理由.
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【题目】下列命题中,正确的共有( )
① 因为直线是无限的,所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去;
② 两个平面有时只相交于一个公共点;
③ 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交,则交点只可能在两个平面的交线上;
④ 一条直线与三角形的两边都相交,则这条直线必在三角形所在的平面内;
A.0个B.1个C.2个D.3个
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【题目】某口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,若红球有21个,则黑球有_________.
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【题目】(1)阅读以下案例,利用此案例的想法化简.
案例:考察恒等式左右两边的系数.
因为右边,
所以,右边的系数为,
而左边的系数为,
所以=.
(2)求证:.
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