Question

如图，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁、CC₁的中点
（1）求证：A₁C₁∥平面B₁EDF；
（2）求四棱锥C₁-B₁EDF的体积．

Answer 1

分析：（1）证明A₁C₁∥平面B₁EDF，连接EF，E、F分别AA₁、CC₁的中点O₁，从而可得EF∥A₁C₁；
（2）取A₁C₁中点，过O₁作O₁H⊥B₁D于H，根据A₁C₁∥平面B₁EDF，利用等体积转换，即可求得结论．

解答：（1）证明：连接EF，E、F分别AA₁、CC₁的中点
O₁
∴EF∥A₁C₁
又EF⊆平面B₁EDF，A₁C₁?平面B₁EDF
∴A₁C₁∥平面B₁EDF…（6分）
（2）解：取A₁C₁中点，过O₁作O₁H⊥B₁D于H
∵A₁C₁∥平面B₁EDF
∴VC1-B1EDF=VO1-B1EDF=

1

3

SB1EDF•O1H=

1

3

×

1

2

×B1D×EF×O1H=

1

6

a3…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查四棱锥的体积，解题的关键是掌握线面平行的判定方法，属于中档题．