Question

设函数f(x)=lnx+

a

x

(x＞0，a∈R)．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设x∈[1，2]，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，再根据a的符号判断f′（x）的正负，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）当a≤1时，由f'（x）≥0和f（x）在[1，2]上单调性，求y_min；当a≥2时，由f'（x）≤0和f（x）在[1，2]上单调性，求故y_min；当1＜a＜2时，同样利用f（x）的单调性求y_min．

解答：解：∵函数f(x)=lnx+

a

x

(x＞0，a∈R)，
∴f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
（1）①当a≤0时，
∵f'（x）≥0，
∴f（x）的递增区间为（0，+∞）；
②当a＞0时，由f'（x）=0，得x=a，
∵当0＜x＜a时，f'（x）＜0，
当x＞a时，f'（x）＞0，
∴f（x）的递增区间为（a，+∞），f（x）的递减区间为（0，a）．
（2）①当a≤1时，∵f'（x）≥0，
∴f（x）在[1，2]上单调递增，∴y_min=f（1）=a；
②当a≥2时，∵f'（x）≤0，
∴f（x）在[1，2]上单调递减，∴ymin=f(2)=ln2+

a

2

；
③当1＜a＜2时，由（1）知：f（x）在（-∞，a）上单调递减，
f（x）在（a，+∞）单调递增，
∴当x=a时，y_min=f（a）=lna+1．

点评：本题考查函数单调区间的求法和函数最小值的计算，是中档题．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，注意分类讨论思想的灵活运用．