Question

已知函数

（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值.

（2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）设各项为正的数列满足：求证：

 

Answer 1

【答案】

（1）；  （2）  ；   （3）

【解析】

试题分析：（I）依题意，对任意的恒成立，即在x1恒成立．则a.

而0，所以，在是减函数，最大值为1，所以，，实数的最小值。

（II）因为，且在上恰有两个不相等的实数根，

即在上恰有两个不相等的实数根，

设g（x）=，则g'（x）=

列表：

X	(0,)		(,2)	2	(2,4)
	+	0	-	0	+
	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

所以，g（x）极大值=g（）=-ln2-b，g（x）极大值=g（2）=ln2-b-2，，g（4）=2ln2-b-1

因为，方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．

则，解得．

（III）设h（x）=lnx-x+1，x∈[1，+∞），则h'（x）=-1≤0

∴h（x）在[1，+∞）为减函数，且h（x）_max=h（1）=0，故当x≥1时有lnx≤x-1．

∵a₁=1，假设a_k≥1（k∈N^*），则a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，故a_n≥1（n∈N^*）

从而a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1∴1+a_n+1≤2（1+a_n）≤…≤2ⁿ（1+a₁）

即1+a_n≤2ⁿ，∴an≤2ⁿ-1

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极（最）值，研究函数的图象和性质，数列不等式的证明。

点评：难题，不等式恒成立问题，常常转化成求函数的最值问题。（II）（III）两小题，均是通过构造函数，研究函数的单调性、极值（最值），认识函数图象的变化形态等，寻求得到解题途径。有一定技巧性，对学生要求较高。