Question

5．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，直线AC₁与平面BCC₁B₁所成角的余弦值等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{4}$

Answer 1

分析 由题意，取BC的中点E，连接C₁E，AE，证明AE⊥面BB₁C₁C，∠AC₁E就是AC₁与平面BB₁C₁C所成的角，解直角三角形AC₁E即可．

解答 解：取BC的中点E，连接C₁E，AE
则AE⊥BC，
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
面ABC∩面BB₁C₁C=BC，
∴AE⊥面BB₁C₁C，
∴∠AC₁E就是AC₁与平面BB₁C₁C所成的角，
在Rt△AC₁E中，∵AB=AA₁，
sin∠AC₁E=$\frac{AE}{{AC}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．cos∠AC₁E=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
故选：D．

点评 考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．