Question

直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的中线，若AB，AD，AC成等比数列，则∠ADC等于

π

6

或

5π

6

．

Answer 1

分析：由题设条件直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的中线，若AB，AD，AC成等比数列，得出AD²=AB×AC，由此等式接合三角形面积公式建立起∠ADC的正弦的方程，求出其正弦值，再求角

解答：解：由题意AB，AD，AC成等比数列得AD²=AB×AC
又直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的中线，
∴AD²=

1

4

BC²，
又AB×AC=2S_ABC=4S_ADC=4×

1

2

AD×DC×sin∠ADC=4×

1

2

×

1

2

BC×

1

2

BC×sin∠ADC=

1

2

BC²sin∠ADC
∴

1

4

BC²=

1

2

BC²sin∠ADC
∴sin∠ADC=

1

2

∴∠ADC=

π

6

或

5π

6

故答案为：

π

6

或

5π

6

点评：本题考查数列与三角的综合，解题的关键是理解题意根据直角三角形中的性质建立起关于sin∠ADC的方程求出角的正弦值从而得到角的值，本题考查了方程的思想，转化的思想以及根据所建立的方程进行运算求值的能力，本题通过面积建立方程，由于高中数学中利用此关系建立等式不太常用，且题设中的条件形式看似利于用余弦定理的知识建立方程导致方法不易寻到，对学过的知识牢固掌握，对面对的习题有着全面的理解，可以避免这种失误