Question

某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式P=

1

6

3t

，Q=

1

8

t．今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．求：
（1）y关于x的函数表达式；
（2）总利润的最大值．

Answer 1

分析：（1）设甲项目投资x亿元，则乙项目投资

1

8

（5-x）亿元，这两个项目所获得的总利润为y=M（亿元）+N（亿元），由经验公式建立总利润关于资金为x的函数关系；
（2）用换元法，设令t=

3x

，t∈[0，

15

]，则x=

t2

3

，利用换元法转换为二次函数在区间上的最值问题，从而求出y的最大值．

解答：解：（1）根据题意，得y=

1

6

3x

+

1

8

（5-x），…（6分）
x∈[0，5]． …（8分）
（注：定义域写成（0，5）不扣分）
（2）令t=

3x

，t∈[0，

15

]，则x=

t2

3

，
y=-

t2

24

+

1

6

t+

5

8

=-

1

24

（t-2）²+

19

24

．…（12分）
因为2∈[0，

15

]，所以当

3x

=2时，即x=

4

3

时，y_最大值=

19

24

．…（14分）
答：总利润的最大值是

19

24

亿元． …（15分）

点评：利润最大的问题，根据题意列出符号条件的函数关系式，选择合适的方法求最值即可，本题用换元法得到一元二次函数的解析式，利用二次函数的性质求其最大值，是基础题．