Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=2，3acosB﹣bcosC=ccosB，点D在线段BC上．

（1）若∠ADC= ，求AD的长；
（2）若BD=2DC，△ACD的面积为 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵3acosB﹣bcosC=ccosB，

∴3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，3sinAcosB=sin（B+C），

∵B+C=π﹣A，

∴3sinAcosB=sinA，

∵A∈（0，π），

∴sinA＞0， ．

∵B∈（0，π），

∴ ．

∵ ，

∴ ，

在△ABD中，由正弦定理得， ，

∴ ， ．

（2）解：设DC=a，则BD=2a，

∵BD=2DC，△ACD的面积为 ，

∴ ，

∴ ，

∴a=2．…（8分）

∴ ，由正弦定理可得 ，

∴ ． ，

∴ ，

∵sin∠ADB=sin∠ADC，

∴ ．

【解析】（1）由三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得3sinAcosB=sinA，结合sinA＞0，可求 ，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而可求 ，由正弦定理即可求得AD的值．（2）设DC=a，则BD=2a，利用已知及三角形面积公式可求a，利用余弦定理可求AC，由正弦定理可得 ，结合sin∠ADB=sin∠ADC，即可求值得解．
【考点精析】掌握正弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:．