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    设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连接MB、MC，若∠BMC=90°，则
    AM
    MH
    的值为（　　）
    分析：设正四面体的棱长为a，MH=x，则 BH=
    2
    3
    ×
    		3
    2
    a    ，故有 MC2=MB2=MH2+BH2=x2+
    1
    3
    a2，再由MB2+MC2=BC2，得 2（x2+
    1
    3
    a2）=a2，解得x的值，根据AH的值求得
    AM
    MH
    的值．
    解答：解：设正四面体的棱长为a，MH=x，则 BH=
    2
    3
    ×
    		3
    2
    a    ，故有 MC2=MB2=MH2+BH2=x2+
    1
    3
    a2，
    在Rt△BMC中，由MB2+MC2=BC2，得 2（x2+
    1
    3
    a2）=a2，解得x=
    		6
    6
    a．
    再由AH=
    		AB2-BH2
    =
    		a2-
    a2
    3
    =
    		6
    3
    a，
    ∴AM=MH=
    1
    2
    AH，即
    AM
    MH
    =1．
    故选 D．
    点评：本题主要考查棱锥的结构特征，求出BH=
    2
    3
    ×
    		3
    2
    a    ，AH=
    		6
    3
    a，是解题的关键，属于基础题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出以下5个命题：
    ①曲线x2-（y-1）2=1按
    a
    =(1，-2)    平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
    ②设A、B为两个定点，n为常数，|
    PA
    |-|
    PB
    |=n    ，则动点P的轨迹为双曲线；
    ③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
    ④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量
    AB
    与
    AP
    夹角为锐角θ，且满足 |
    PB
    | |
    AB
    | +
    PA
    •
    AB
    =0    ，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
    ⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
    其中所有真命题的序号为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源：2014届广东实验中学高二上学期期中理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    （本小题满分14分）

    如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

    （1）求证：P-ABC为正四面体；

    （2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。

    （3）设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年四川省攀枝花七中高三（下）开学数学试卷（理科）（解析版） 题型：填空题

    给出以下5个命题：
    ①曲线x2-（y-1）2=1按平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
    ②设A、B为两个定点，n为常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
    ③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
    ④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量与夹角为锐角θ，且满足 ，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
    ⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
    其中所有真命题的序号为    ．

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