Question

10．已知a_n=n，b_n=2ⁿ，求数列{a_n•b_n²}的前n项和．

Answer 1

分析 通过a_n=n、b_n=2ⁿ可知a_n•b_n²=n•4ⁿ，利用S_n=1•4+2•4²+…+n•4ⁿ与4S_n=1•4²+2•4³+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹错位相减、计算即得结论．

解答 解：∵a_n=n，b_n=2ⁿ，
∴a_n•b_n²=n•4ⁿ，
记数列{a_n•b_n²}的前n项和为S_n，
则S_n=1•4+2•4²+…+n•4ⁿ，
4S_n=1•4²+2•4³+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，
两式相减得：-3S_n=4+4²+4³+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹
=-$\frac{4}{3}$-（4n-$\frac{4}{3}$）4ⁿ，
∴S_n=$-\frac{1}{3}$[-$\frac{4}{3}$-（4n-$\frac{4}{3}$）4ⁿ]=$\frac{4}{9}$+$\frac{3n-1}{9}$•4ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的求和，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．