Question

下列命题：
①△ABC中，若A＜B，则cos2A＜cos2B；
②若A，B，C为△ABC的三个内角，则的最小值为
③已知（n∈N^*），则数列{a_n}中的最小项为；
④若函数f（x）=log₂（x+1），且0＜a＜b＜c，则；
⑤函数的最小值为．
其中所有正确命题的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：①先有正弦定理判断出sinA与sinB的大小关系，然后再利用余弦的倍角公式展开进行化简讨论．
②先利用A+B+C=π，进行化简，然后利用基本不等式进行证明．
③将数列转化为基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行判断．
④构造函数，转化为斜率的大小进行判断．
⑤先配方，将根式转化为两点间距离之和的最小值来求．
解答：解：①①△ABC中，若A＜B，则a＜b，由正弦定理得0＜sinA＜sinB，又cos?2A=1-2sin?²A，cos?2B=1-2sin?²B，所以cos2A＞cos2B，所以①错误．
②因为A+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π，所以，原式等价为=，当且仅当，即α=2β时取等号．所以②正确．
③因为=，因为，所以设，则1≤t≤3．因为函数在区间（0，4）上单调递减，所以在[1，3]上单调递减，所以当t=3时，函数有最小值，则对应数列{a_n}中的最小项为，所以③正确．
④令g（x）=，则函数g（x）的几何意义为曲线上点与原点连线斜率的大小．由题意可知分别看作函数f（x）=log₂（x+1）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））与原点连线的斜率，由图象可知，所以④错误．
⑤原式可化简为，设点P（x，0），A（1，2），B（2，3），
则原式等价为|PA|+|PB|的最小值，找出点A关于x轴的对称点D（1，-2）．则|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值为．所以⑤错误．
所有正确命题的序号是②③．
故答案为：②③．
点评：本题重点考查了基本不等式的应用，以及对复杂问题，要根据几何意义进行转化的数学思路．对学生的转化能力，运算能力都有很高的要求，这类问题的难度较大，综合性较强．