【题目】已知椭圆,抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是,,,.
()求,的标准方程.
()过点的直线与椭圆交于不同的两点,,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
【答案】(1),(2)或.
【解析】
(1) 根据题意布列关于待定系数的方程组,解之即可;
(2) 设直线l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(1+4k2)x2+16kx+12=0,由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积,结合已知条件能求出直线l的斜率k的取值范围.
解:()由题意抛物线的顶点为原点,
所以点一定在椭圆上,且,则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于,
所以也在椭圆上,,,故椭圆标准方程,
所以点、在抛物线上,且抛物线开口向右,其方程,,,
所以方程为.
()①当直线斜率不存在时,易知三点共线,不符题意.
②当斜率存在时,设,,,
,
,
,
令,
,
,
或,
,,
,
,
,
,
,
令
,
即,
或.
综上:或.
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【题目】已知函数,在区间上有最大值,最小值,设函数.
(1)求的值;
(2)不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)方程有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
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【题目】如图,用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F,G七个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有( )
A.192B.336C.600D.以上答案均不对
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【题目】已知圆, 在抛物线上,圆过原点且与的准线相切.
(Ⅰ) 求的方程;
(Ⅱ) 点,点(与不重合)在直线上运动,过点作的两条切线,切点分别为, .求证: (其中为坐标原点).
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【题目】如图,在三棱柱中,侧面是矩形,,,,且.
(1)求证:平面平面;
(2)设是的中点,判断并证明在线段上是否存在点,使平面,若存在,求点到平面的距离.
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【题目】已知抛物线的焦点为,过的直线交抛物线于,两点
(1)若以,为直径的圆的方程为,求抛物线的标准方程;
(2)过,分别作抛物线的切线,,证明:,的交点在定直线上.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面积S=c2,求sin C的值.
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