Question

7．如图，在四陵锥P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：
（1）PA⊥底面ABCD；
（2）平面BEF∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，能证明PA⊥平面ABCD．
（2）由已知得EF∥PD，AB$\underset{∥}{=}$DE，由此能证明平面BEF∥平面PAD．

解答 证明：（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．
（2）∵AB∥CD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，
∴EF∥PD，AB$\underset{∥}{=}$DE，
∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，
∵BE∩EF=E，AD∩PD=D，
∴平面BEF∥平面PAD．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查面面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．