【题目】已知命题函数在上单调递减;命题曲线为双曲线.
(Ⅰ)若“且”为真命题,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若“或”为真命题,“且”为假命题,求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(I)对函数求导,利用分离常数法求得命题中的取值范围,利用双曲线的标准方程的概念求得命题中的取值范围. 若“且”为真命题则均为真命题,求中两个的取值范围的交集,得到题目所求的取值范围.(II)若“或”为真命题,“且”为假命题,则一真一假,分别根据“真假”或者“假真”两类,结合(I)的数据,求得实数的取值范围.
(Ⅰ)若为真命题,在恒成立,即在恒成立,∵在的最大值是3, ①
若为真命题,则,解得,②
若“且”为真命题,即,均为真命题,所以,解得,
综上所述,若“且”为真命题,则实数的取值范围为;
(Ⅱ)若“或”为真命题,“且”为假命题,即,一真一假,
当真假时,,解得,
当假真时,,解得,
综上所述,实数的取值范围为.
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【题目】如图,已知椭圆:的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,线段的中点为,直线:交椭圆于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:点在直线上;
(3)是否存在实数,使得?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
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【题目】某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往旅游,他先前进了,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了, 当他记起诗句“不到长城非好汉”,便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离与时间的函数关系的图象大致为( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,已知在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点,
(1)试在棱上确定一点,使平面平面,说明理由;
(2)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),在以为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的方程为.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程;
(2)已知点,设直线与曲线的两个交点为, ,若,求的值.
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【题目】已知点和圆,过的动直线与圆交于、两点,过作直线,交于点.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)若不经过的直线与轨迹交于两点,且.求证:直线 恒过定点.
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【题目】已知定义在上的偶函数和奇函数,且.
(1)求函数,的解析式;
(2)设函数,记 .探究是否存在正整数,使得对任意的,不等式恒成立?若存在,求出所有满足条件的正整数的值;若不存在,请说明理由.
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