[题目]已知:.(1)讨论的单调性,(2)当.时.证明:(i)在点处的切线与的图像至少有两个不同的公共点,(ii)若另有公共点为.其中.则. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知：.

（1）讨论的单调性；

（2）当，时，证明：

（i）在点处的切线与的图像至少有两个不同的公共点；

（ii）若另有公共点为，其中，则.

【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析，（ii）见解析

【解析】

（1）先求得函数到导数，然后对分成两种情况，讨论的单调性.（2）先判断出的二阶导数大于零.（i）先求得函数在点处的切线方程，，构造函数，利用的导数求得函数的单调区间，，以及结合零点存在性定理判断出至少有两个零点，也即切线与至少有两个不同的公共点.（ii）取，根据函数的单调性，有，而，利用基本不等式证得.

（1），当时，在，当时，，.

（2）.

（i），

，，，.

，

时，，：，，，.

又

，

当时，，取时，，

故，使.故至少有两个零点，也即切线与至少有两个不同的公共点.

（ii）取，，

∴，∴.

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	1	2	3	4	5
	50	60	70	80	100

经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系.

（ⅰ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程：

（ⅱ）该商店采取转盘方式进行抽奖（如图乙），其中转盘是个八等分的圆.每位顾客最多两次抽奖机会，若第一次抽到奖，则抽奖终止，若第一次未抽到奖，则再提供一次抽奖机会.抽到一等奖的奖品价值128元，抽到二等奖的奖品价值32元.若该商店此次抽奖活动持续7天，试估计该商店在此次抽奖活动结束时共送出价值为多少元的奖品（精确到0.1，单位：万元）？