Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1：

x=-4+cost y=-3+sint

(t为参数），C2：

x=8cosθ y=-3sinθ

(θ为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C3：

x=3+2t y=-2+t

(t参数）距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C₁表示一个圆；曲线C₂表示一个椭圆；
（2）把t的值代入曲线C₁的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C₂的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．

解答：解：（1）把曲C1：

x=-4+cost y=-3+sint

(t为参数）化为普通方程得：（x+4）²+（y+3）²=1，
所以此曲线表示的曲线为圆心（-4，-3），半径1的圆；
C2：

x=8cosθ y=-3sinθ

(θ为参数），化为普通方程得：

x2

64

+

y2

9

=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；
（2）把t=

π

2

代入到曲线C₁的参数方程得：P（-4，-2），
把直线C3：

x=3+2t y=-2+t

(t参数）化为普通方程得：x-2y-7=0，
设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，-1+

3

2

sinθ）
所以M到直线的距离d=

|4cosθ-3sinθ-7|

5

=

|5sin(α-θ)-7|

5

，（其中sinα=

4

5

，cosα=

3

5

）
从而当cosθ=

4

5

，sinθ=-

3

5

时，d取得最小值

2 5

5

．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．