Question

20．已知直线l经过抛物线y²=12x的焦点F，且与直线2x-y+6=0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）已知圆x²+y²+x-6y+m=0与直线l交于P，Q两点，以P，Q两点为直径的圆经过坐标原点O，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知直线l过点F（2，0），斜率k=-$\frac{1}{2}$，由此能求出直线l的方程．
（2）由x²+y²+x-6y+m=0和x+2y-2=0联立，得$\frac{5}{4}$x²-3x+m+7=0，由此利用韦达定理结合向量垂直的性质，能求出m．

解答 解：（1）∵直线l经过抛物线y²=12x的焦点F，且与直线2x-y+6=0垂直，
∴直线l过点F（2，0），斜率k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程为：$y=-\frac{1}{2}（x-2）$，即x+2y-2=0．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由x²+y²+x-6y+m=0和x+2y-2=0联立，消去y得：
$\frac{5}{4}$x²-3x+m+7=0，
∴x₁+x₂=$\frac{12}{5}$，x₁x₂=$\frac{4m+28}{5}$，
∵以PQ为直径的圆经过坐标原点O，
∴OP⊥OQ，可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$\frac{1}{4}$（2-x₁）（2-x₂）=2x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
结合前面根与系数关系表达式，代入得：
2×$\frac{4m+28}{5}$-2×$\frac{12}{5}$+4=0，
解得m=-$\frac{13}{2}$．

点评 本题考查直线方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．