Question

19．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是单调递增，若f（2）=0，则使f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）＜0成立的x的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，4）
• B． （0，$\frac{1}{4}$）
• C． （$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （$\frac{1}{4}$，4）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答 解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，又f（2）=0，
∴不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$x）＜0等价为f（|log${\;}_{\frac{1}{2}}$x|）＜f（2），
即|log${\;}_{\frac{1}{2}}$x|＜2，
则-2＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$x＜2，
解得$\frac{1}{4}$＜x＜4，
故选：D．

点评 本题主要考查不等式的解法，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．