Question

（2013•韶关二模）我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄（单位：岁）分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）请根据频率分布直方图，估计这100名志愿者样本的平均数；
（3）在（1）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
（参考数据：22.5×0.01+27.5×0.07+32.5×0.06+37.5×0.04+42.5×0.02=6.45）

Answer 1

分析：（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；
（2）利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．
（3）记第3组的3名志愿者为A₁，A₂，A₃，第4组的2名志愿者为B₁，B₂，第5组的1名志愿者为C₁．利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出．

解答：解：（1）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．…（2分）
因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：

30

60

×6=3； 第4组：

20

60

×6=2； 第5组：

10

60

×6=1．
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．…（4分）
（2）根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：22.5×（0.01×5）+27.5×（0.07×5）+32.5×（0.06×5）+37.5×（0.04×5）+42.5×（0.02×5）=6.45×5=32.25（岁）
所以，样本平均数为32.25岁．…（8分）
（3）记第3组的3名志愿者为A₁，A₂，A₃，第4组的2名志愿者为B₁，B₂，第5组的1名志愿者为C₁．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），
（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共有15种．…（10分）
其中第4组的2名志愿者B₁，B₂至少有一名志愿者被抽中的有：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共有9种…（11分）
根据古典概型概率计算公式，得P(A)=

9

15

=

3

5

…（12分）
答：第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

3

5

…（13分）

点评：熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键．