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如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,D1D平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB2ADADA1B1BAD60°.

(1)证明:AA1BD

(2)证明:CC1平面A1BD.

 

见解析

【解析】(1)法一因为D1D平面ABCD,且BD?平面ABCD,所以D1DBD.

ABD中,由余弦定理,得

BD2AD2AB22AD·ABcosBAD.

又因为AB2ADBAD60°,所以BD23AD2.

所以AD2BD2AB2,因此ADBD.

ADD1DD,所以BD平面ADD1A1.

AA1?平面ADD1A1,所以AA1BD.

法二因为DD1平面ABCD,且BD?平面ABCD

所以BDD1D.

如图1,取AB的中点G,连接DG.

1

ABD中,由AB2AD,得AGAD.BAD60°,所以ADG为等边三角形,所以GDGB,故DBGGDB.

AGD60°,所以GDB30°

所以ADBADGGDB60°30°90°

所以BDAD.

ADD1DD,所以BD平面ADD1A1.

AA1?平面ADD1A1,所以AA1BD.

(2)如图2,连接ACA1C1.

ACBD于点E

2

连接EA1.

因为四边形ABCD为平行四边形,

所以ECAC.

由棱台的定义及AB2AD2A1B1知,

A1C1ECA1C1EC

所以四边形A1ECC1为平行四边形,

因此CC1EA1.

又因为EA1?平面A1BDCC1?平面A1BD

所以CC1平面A1BD.

 

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