如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.
(1)证明:AA1⊥BD;
(2)证明:CC1∥平面A1BD.
见解析
【解析】(1)法一因为D1D⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD,所以D1D⊥BD.
在△ABD中,由余弦定理,得
BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos∠BAD.
又因为AB=2AD,∠BAD=60°,所以BD2=3AD2.
所以AD2+BD2=AB2,因此AD⊥BD.
又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1?平面ADD1A1,所以AA1⊥BD.
法二因为DD1⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD,
所以BD⊥D1D.
如图1,取AB的中点G,连接DG.
图1
在△ABD中,由AB=2AD,得AG=AD.又∠BAD=60°,所以△ADG为等边三角形,所以GD=GB,故∠DBG=∠GDB.
又∠AGD=60°,所以∠GDB=30°,
所以∠ADB=∠ADG+∠GDB=60°+30°=90°,
所以BD⊥AD.
又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1.
又AA1?平面ADD1A1,所以AA1⊥BD.
(2)如图2,连接AC,A1C1.
设AC∩BD于点E,
图2
连接EA1.
因为四边形ABCD为平行四边形,
所以EC=AC.
由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1知,
A1C1∥EC且A1C1=EC,
所以四边形A1ECC1为平行四边形,
因此CC1∥EA1.
又因为EA1?平面A1BD,CC1?平面A1BD,
所以CC1∥平面A1BD.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练7练习卷(解析版) 题型:选择题
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C等于( ).
A. B.- C.± D.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练15练习卷(解析版) 题型:填空题
设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点PA⊥l,A为垂足,如果AF的斜率为-,那么|PF|=________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练14练习卷(解析版) 题型:选择题
已知倾斜角为α的直线l与直线x-2y+2=0平行,则tan 2α的值为( ).
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练13练习卷(解析版) 题型:选择题
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F且EF=,则下列结论中错误的是( ).
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练12练习卷(解析版) 题型:填空题
设α和β为两个不重合的平面,给出下列四个命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号).
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练11练习卷(解析版) 题型:解答题
如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,E和F是l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC.E′和F′是平面ABCD内的两点,EE′和FF′都与平面ABCD垂直.
(1)证明:直线E′F′垂直且平分线段AD;
(2)若∠EAD=∠EAB=60 °,EF=2.求多面体ABCDEF的体积.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练训练10练习卷(解析版) 题型:选择题
已知首项为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1 006和a1 007是方程x2-2 012x-2 011=0的两根,则使Sn>0成立的正整数n的最大值是( ).
A.1006 B.1007 C.2011 D.2012
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题提升训练优化重组卷3练习卷(解析版) 题型:填空题
设y=f(x)是一次函数,f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)=________.
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