Question

已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则

AG

GD

=2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则

AO

OM

=

 

．

Answer 1

分析：设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=

6

3

，又因为O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，可得O到四面体各面的距离都相等，所以O也是为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=

3V

S表

，可求得r即OM，从而结果可求．

解答：解：设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=

6

3

，又
∵O为四面体ABCD外接球的球心，结合四面体各条棱长都为1，
∴O到四面体各面的距离都相等，O为四面体的内切球的球心，
设内切球半径为r，
则有四面体的体积V=4•

1

3

•

3

4

r=

2

12

，
∴r=

2 12

3 3

=

6

12

，即OM=

6

12

，
所以AO=AM-OM=

6

4

，所以

AO

OM

=3
故答案为：3

点评：本题考查类比推理知识，由平面到空间的类比是经常考查的知识，要认真体会其中的类比方式．