Question

已知△ABC的三边a，b，c和其面积S满足S=c²-（a-b）²且a+b=2，则S的最大值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由S=ab•sinC=c²-（a-b）² 以及余弦定理可得cosC=-，sinC=．再由基本不等式求得S的最大值．
解答：由题意可得 S=ab•sinC=c²-（a-b）²=c²-a²-b²+2ab． 又由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC，
由此可得 sinC=4（1-cosC），两边平方后化简可得 （1-cosC）（15+17cosC）=0，∴cosC=-，或 cosC=1 （舍去）．
∴sinC=．
再由a+b≥2 ，可得ab≤1，当且仅当a=b时，取等号．
∴S=ab•sinC=ab≤，即S的最大值为 ．
故选D．
点评：本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，基本不等的应用，属于中档题．