Question

已知向量

a

=（2cos

x

2

，tan（

x

2

+

π

4

）），

b

=（

2

sin（

x

2

+

π

4

），tan（

x

2

-

π

4

），令f（x）=

a

•

b

．是否存在实数x∈[0，π]，使f（x）+f'（x）=0（其中f'（x）是f（x）的导函数）？若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之．

Answer 1

分析：先表示出函数f（x）的解析式，然后对其求导．令f（x）+f′（x）=0可得答案．

解答：解：f（x）=

a

•

b

=2

2

cos

x

2

sin（

x

2

+

π

4

）+tan（

x

2

+

π

4

）tan（

x

2

-

π

4

）
=2

2

cos

x

2

（

2

2

sin

x

2

+

2

2

cos

x

2

）+

1+tan x 2

1-tan x 2

•

tan x 2 -1

1+tan x 2

=2sin

x

2

cos

x

2

+2cos2

x

2

-1
=sinx+cosx．
f（x）+f′（x）=0，
即：f（x）+f′（x）=sinx+cosx+cosx-sinx=2cosx=0．可得x=

π

2

，
当x=

π

2

时，tan（

x

2

+

π

4

）无意义
所以不存在实数x=

π

2

∈[0，π]，使f（x）+f′（x）=0

点评：本题主要考查向量的数量积运算和三角函数求导运算，是小综合题．向量和三角函数的综合是高考热点要给予重视．