Question

19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x₁，x₂∈[0，+∞）时，有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，若实数a满足f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）≤2f（1），则a的取值范围（　　）

• A． [1，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，2]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 由题意可得，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，利用对数的运算性质化简所给的不等式可得 log₂a≤1，由此求得a的范围．

解答 解：由题意可得，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）≤2f（1），
即f（log₂a）+f（${log}_{2}\frac{1}{a}$）≤2f（1），即 f（log₂a）+f（-log₂a）≤2f（1），
即2f（log₂a）≤2f（1），即 f（log₂a）≤f（1），∴-1≤log₂a≤1，∴$\frac{1}{2}$≤a≤2，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的单调性的判断和应用，对数的运算性质，属于基础题．