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    在xOy平面上有一系列点P1（x1,y1）,P2(x2,y2),…，Pn(xn,yn),…,对每个自然数n,点Pn位于函数y=x2(x≥0)的图象上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴都相切，且⊙Pn与⊙Pn+1又彼此外切.若x1=1且xn+1＜xn?(n∈N*).

    (1)求证：数列{1xn}是等差数列；

    (2)设⊙Pn的面积为Sn,Tn=+…+,求证：Tn＜.

    (1)证明：依题意，⊙Pn的半径rn=yn=xn2,∵⊙Pn与⊙Pn+1彼此外切，∴|PnPn+1|=rn+rn+1|,∴=yn+yn+1，两边平方，化简得（xn-xn+1）2=4ynyn+1,即：（xn-xn+1）2=4xn2xn+12.∵0＜xn+1＜xn,∴xn-xn+1=2xnxn+1=2(n∈N*).所以数列{}是等差数列；

    (2)解析：由题设，∵x1=1,∴=+(n-1)·2xn=,

    ∴Sn=πrn2=πyn2=πxn4=,

    Tn=+…+=［1++…+］

    ≤［1++…+］=［1+(1-)］=

    ＜.


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    （I）求数列{xn}的通项公式；
    （II）设圆Pn的面积为Sn，Tn=
    		S1
    +
    		S2
    +…+
    		Sn
    ，求证：Tn＜
    3
    		2
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    		3
    x，（x≥0）都相切，且⊙Pn与⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
    （1）求证：数列{xn}是等比数列，并求数列{xn}的通项公式；
    （2）设数列{an}的各项为正，且满足an≤
    xnan-1
    xn+an-1
    ，a1    =1，
    求证：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜
    5
    4
    -
    1
    3n-1
    ，（n≥2）
    （3）对于（2）中的数列{an}，当n＞1时，求证：(1-an)2[
    a
    2
    2
    (1-
    a
    2
    2
    )    2
    +
    a
    3
    3
    (1-
    a
    3
    3
    )    2
    +…+
    a
    n
    n
    (1-
    a
    n
    n
    )    2
    ]＞
    4
    5
    -
    1
    1+an+
    a
    2
    n
    +…+
    a
    n
    n
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在xoy平面上有一系列点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）┉Pn（xn，yn），对于每个自然数n，点Pn（xn，yn）位于函数y=x2（x≥0）图象上，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴相切，又与⊙Pn+1外切，若x1=1，xn+1＜xn（n∈N+），则数列{xn}的通项公式xn=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源：2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷（解析版） 题型：解答题

    在xoy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，对每个正整数n，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴及射线y=x，（x≥0）都相切，且⊙Pn与⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
    （1）求证：数列{xn}是等比数列，并求数列{xn}的通项公式；
    （2）设数列{an}的各项为正，且满足an≤=1，
    求证：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜，（n≥2）
    （3）对于（2）中的数列{an}，当n＞1时，求证：．

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