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    必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

    如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，.

    （1）当时，求直线AP与平面BDD1B1所成角的度数；

    （2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的m，⊥AP，并证明你的结论.

     

    【答案】

     

    （1）60º

    （2）Q为的中点时

    【解析】（１）建立如图所示的空间直角坐标系，则

    A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),

    B1(1,1,1),  D1(0,0,2).

    所以

    又由的一个法向量.

    设与所成的角为，

    则=，

    解得.故当时，直线AP与平面所成角为60º.  ………5分

    （２）若在上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，

    则.

    依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于

    即Q为的中点时，满足题设的要求.                 ……………10分

     

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    		3
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